初三数学|几何模型之瓜豆原理

 几何模型之瓜豆原理

种瓜得瓜，种豆得豆，种瓜不得豆，种豆不得瓜。

初中学数学课本不曾提到的知识点，为何能成为中考的热门考点？其实并不新鲜，它的本质就是位似图形，而位似又可以追溯到相似。

两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

瓜豆原理是主从联动轨迹问题。

主动点叫作瓜，从动点叫作豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。

这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆原理，瓜豆模型。定点定角定比例，是这个模型的三要素

类型一：点直线上运动

1.线段+直线

条件：线段AB上A为直线l上的动点。C为线段AB中点，B为定点，A为动点。

结论：1.点C的轨迹为A轨迹的一半

2.C的轨迹与A的轨迹平行。

 

 

类型二：点在圆上运动

1.线段+圆

Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径，

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

例题：如图，正方形ABCD中，AB=2根号5，O为BC的中点，OE=2,DE绕着D逆时针旋转90°得到DF，求OF最小值.

看动态图

分析：由题目可以分析知E的运动轨迹为圆，且半径为1。所以F点轨迹为等大的圆。

∴如图连接OD和OD可以构造等腰直角△DOO'，

∴O，F，O'三点共线时，OF取得最小值。

 ∴OD=5，∴OO'=5√2,

∴OF的最小值为5√2 -2

瓜豆原理的关键是主要掌握好从动点的变化规律，从动点轨迹到底是直线还是圆。以及他们轨迹之间的相互的比例关系。这样我们在解题过程中才能够迅速定位，找到破题之道。

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